Quadratsumme

Was ist die Summe der Quadrate?

Die Quadratsumme ist eine statistische Technik, die in der Regressionsanalyse verwendet wird, um die Streuung von Datenpunkten zu bestimmen. In einer Regressionsanalyse Das Ziel besteht darin, zu bestimmen, wie gut eine Datenreihe an eine Funktion angepasst werden kann, die helfen könnte, zu erklären, wie die Datenreihe generiert wurde. Die Quadratsumme wird als mathematische Methode verwendet, um die Funktion zu finden, die am besten zu den Daten passt (die am wenigsten variiert).

Die Formel für die Summe der Quadrate lautet

Für ein Set x von n Produkte: Quadratsumme = Σ ich = 0 n ( x ich − x Ich ) 2 wo: x ich = Die ich T h Artikel im Set x Ich = Der Mittelwert aller Artikel im Set ( x ich − x Ich ) = Die Abweichung jedes Items vom Mittelwert \begin{aligned} &\text{Für eine Menge } X \text{ von } n \text{ Elementen:}\\ &\text{Summe der Quadrate}=\sum_{i=0}^{n}\left (X_i-\overline{X}\right)^2\\ &\textbf{wo:}\\ &X_i=\text{Das } i^{th} \text{ Element in der Menge}\\ &\overline{ X}=\text{Der Mittelwert aller Items in der Menge}\\ &\left(X_i-\overline{X}\right) =\text{Die Abweichung jedes Items vom Mittelwert}\\ \end{aligned } ​Für eine Menge X von n Elementen:Sum of squares=i=0∑n​(Xi​−X)2wobei:Xi​=Das i-te Element in der MengeX=Der Mittelwert aller Elemente in der Menge(Xi​−X )=Die Abweichung jedes Items vom Mittelwert​

Die Summe der Quadrate wird auch als Variation bezeichnet.

Was sagt dir die Summe der Quadrate?

Die Quadratsumme ist ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert. In der Statistik, der Mittelwert ist der Durchschnitt einer Reihe von Zahlen und ist das am häufigsten verwendete Maß für die zentrale Tendenz. Das arithmetische Mittel wird einfach berechnet, indem die Werte im Datensatz aufsummiert und durch die Anzahl der Werte geteilt werden.

Nehmen wir an, die Schlusskurse von Microsoft (MSFT) in den letzten fünf Tagen waren 74,01, 74,77, 73,94, 73.61, und 73,40 US-Dollar. Die Summe der Gesamtpreise beträgt 369,73 USD und der mittlere oder durchschnittliche Preis des Lehrbuchs wäre somit 369,73 USD / 5 =73,95 $.

Es reicht jedoch nicht immer aus, den Mittelwert eines Messsatzes zu kennen. Manchmal, Es ist hilfreich zu wissen, wie viel Variation es in einer Reihe von Messungen gibt. Wie weit die einzelnen Werte vom Mittelwert entfernt sind, kann Aufschluss darüber geben, wie gut die Beobachtungen oder Werte zum erstellten Regressionsmodell passen.

Zum Beispiel, wenn ein Analyst wissen wollte, ob sich der Aktienkurs von MSFT parallel zum Kurs von Apple (AAPL) bewegt, er kann den Beobachtungssatz für den Verlauf beider Bestände für einen bestimmten Zeitraum auflisten, sag 1, 2, oder 10 Jahre und erstellen Sie ein lineares Modell mit jeder der aufgezeichneten Beobachtungen oder Messungen. Wenn die Beziehung zwischen beiden Variablen (d. h. der Preis von AAPL und Preis von MSFT) ist keine gerade Linie, dann gibt es Variationen im Datensatz, die überprüft werden müssen.

In der Statistik sprechen, wenn die Linie im erstellten linearen Modell nicht alle Wertmessungen durchläuft, dann ist ein Teil der Variabilität, die bei den Aktienkursen beobachtet wurde, ungeklärt. Die Quadratsumme wird verwendet, um zu berechnen, ob zwischen zwei Variablen ein linearer Zusammenhang besteht, und jede unerklärte Variabilität wird als die Residualsumme der Quadrate bezeichnet.

Die Quadratsumme ist die Summe der Variationsquadrate, wobei Variation als die Spanne zwischen jedem einzelnen Wert und dem Mittelwert definiert ist. Um die Quadratsumme zu bestimmen, der Abstand zwischen jedem Datenpunkt und der Linie der besten Anpassung wird quadriert und dann aufsummiert. Die Linie der besten Anpassung minimiert diesen Wert.

So berechnen Sie die Summe der Quadrate

Jetzt können Sie sehen, warum die Messung als Summe der quadrierten Abweichungen bezeichnet wird, oder kurz die Summe der Quadrate. Verwenden Sie unser MSFT-Beispiel oben, die Summe der Quadrate kann berechnet werden als:

• SS =(74,01 - 73,95) ² + (74,77 - 73,95) ² + (73,94 - 73,95) ² + (73,61 - 73,95) ² + (73,40 - 73,95) ²
• SS =(0,06) ² + (0,82) ² + (-0,01) ² + (-0,34) ² + (-0,55) ²
• SS =1,0942

Das Addieren der Summe der Abweichungen allein ohne Quadrieren führt zu einer Zahl gleich oder nahe Null, da die negativen Abweichungen die positiven Abweichungen fast perfekt ausgleichen. Um eine realistischere Zahl zu erhalten, die Summe der Abweichungen muss quadriert werden. Die Summe der Quadrate ist immer eine positive Zahl, da das Quadrat einer beliebigen Zahl, ob positiv oder negativ, ist immer positiv.

Beispiel für die Verwendung der Quadratsumme

Basierend auf den Ergebnissen der MSFT-Berechnung, eine hohe Quadratsumme bedeutet, dass die meisten Werte weiter vom Mittelwert entfernt sind, und daher, es gibt eine große Variabilität in den Daten. Eine niedrige Quadratsumme bezieht sich auf eine geringe Variabilität in der Menge der Beobachtungen.

Im obigen Beispiel ist 1.0942 zeigt, dass die Variabilität des MSFT-Aktienkurses in den letzten fünf Tagen sehr gering ist und Anleger, die in Aktien investieren möchten, die sich durch Preisstabilität und geringe Volatilität auszeichnen, sich für MSFT entscheiden können.

Die zentralen Thesen

• Die Quadratsumme misst die Abweichung der Datenpunkte vom Mittelwert.
• Ein höheres Quadratsummenergebnis weist auf eine große Variabilität innerhalb des Datensatzes hin. während ein niedrigeres Ergebnis anzeigt, dass die Daten nicht wesentlich vom Mittelwert abweichen.

Einschränkungen bei der Verwendung der Quadratsumme

Um eine Anlageentscheidung darüber zu treffen, welche Aktie gekauft werden soll, sind viel mehr Beobachtungen als die hier aufgeführten erforderlich. Ein Analyst muss möglicherweise mit jahrelangen Daten arbeiten, um mit größerer Sicherheit zu wissen, wie hoch oder niedrig die Variabilität eines Vermögenswerts ist. Wenn dem Satz weitere Datenpunkte hinzugefügt werden, die Summe der Quadrate wird größer, wenn die Werte weiter verteilt werden.

Die am häufigsten verwendeten Variationsmaße sind die Standardabweichung und die Varianz. Jedoch, um eine der beiden Metriken zu berechnen, zuerst muss die Summe der Quadrate berechnet werden. Die Varianz ist der Durchschnitt der Summe der Quadrate (d. h. die Summe der Quadrate geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen). Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Es gibt zwei Methoden der Regressionsanalyse, die die Quadratsumme verwenden:die lineare Methode der kleinsten Quadrate und die nichtlineare Methode der kleinsten Quadrate. Die Methode der kleinsten Quadrate bezieht sich auf die Tatsache, dass die Regressionsfunktion die Summe der Quadrate der Varianz von den tatsächlichen Datenpunkten minimiert. Auf diese Weise, es ist möglich, eine Funktion zu zeichnen, die statistisch die beste Anpassung an die Daten liefert. Beachten Sie, dass eine Regressionsfunktion entweder linear (eine gerade Linie) oder nichtlinear (eine gekrümmte Linie) sein kann.