Zentraler Grenzwertsatz (CLT)

Was ist der zentrale Grenzwertsatz (CLT)?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie Der zentrale Grenzwertsatz (CLT) besagt, dass die Verteilung einer Stichprobenvariable sich einer Normalverteilung annähert (d. h. eine „Glockenkurve“), wenn die Stichprobengröße größer wird, unter der Annahme, dass alle Stichproben gleich groß sind, und unabhängig von der tatsächlichen Verteilungsform der Population.

Anders ausgedrückt, CLT ist eine statistische Prämisse, die bei einer ausreichend großen Stichprobengröße aus einer Grundgesamtheit mit endlicher Varianz, der Mittelwert aller Stichprobenvariablen derselben Grundgesamtheit wird ungefähr gleich dem Mittelwert der gesamten Grundgesamtheit sein. Außerdem, diese Stichproben nähern sich einer Normalverteilung an, wobei ihre Varianzen ungefähr gleich der Varianz der Grundgesamtheit sind, wenn die Stichprobengröße größer wird, nach dem Gesetz der großen Zahl.

Obwohl dieses Konzept erstmals 1733 von Abraham de Moivre entwickelt wurde, es wurde erst 1930 formalisiert, der ungarische Mathematiker George Polya nannte es den zentralen Grenzwertsatz.

Die zentralen Thesen

• Der zentrale Grenzwertsatz (CLT) besagt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung annähert, wenn die Stichprobengröße größer wird. unabhängig von der Bevölkerungsverteilung.
• Stichprobengrößen von 30 oder mehr werden oft als ausreichend angesehen, damit die CLT halten kann.
• Ein wichtiger Aspekt von CLT ist, dass der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und Standardabweichungen dem Grundgesamtheitsmittelwert und der Standardabweichung entsprechen.
• Ein ausreichend großer Stichprobenumfang kann die Merkmale einer Population genauer vorhersagen.

Zentraler Grenzwertsatz

Den zentralen Grenzwertsatz verstehen

Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt der Mittelwert einer Datenstichprobe näher am Mittelwert der betreffenden Gesamtpopulation liegt, mit zunehmender Stichprobengröße, ungeachtet der tatsächlichen Verteilung der Daten. Mit anderen Worten, die Daten sind genau, egal ob die Verteilung normal oder aberrant ist.

Generell, Stichprobengrößen von etwa 30-50 werden als ausreichend erachtet, damit das CLT halten kann, Dies bedeutet, dass die Verteilung der Stichprobenmittelwerte ziemlich normalverteilt ist. Deswegen, je mehr Proben man nimmt, desto mehr nehmen die graphischen Ergebnisse die Form einer Normalverteilung an. Notiz, jedoch, dass die zentrale Grenzwerttheorie in vielen Fällen für viel kleinere Stichprobengrößen noch approximiert wird, wie n=8 oder n=5.

Der zentrale Grenzwertsatz wird oft in Verbindung mit dem Gesetz der großen Zahlen verwendet, die besagt, dass der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und Standardabweichungen sich mit zunehmender Stichprobengröße dem Mittelwert der Grundgesamtheit und der Standardabweichung annähert, Dies ist äußerst nützlich, um die Eigenschaften von Populationen genau vorherzusagen.

Der zentrale Grenzwertsatz im Finanzwesen

Der CLT ist nützlich, wenn Sie die Renditen einer einzelnen Aktie oder breiterer Indizes untersuchen. weil die Analyse einfach ist, aufgrund der relativ einfachen Generierung der erforderlichen Finanzdaten. Folglich, Anleger aller Art verlassen sich auf das CLT, um Aktienrenditen zu analysieren, Portfolios aufbauen, und Risiken managen.

Sagen, zum Beispiel, ein Anleger möchte die Gesamtrendite für einen Aktienindex analysieren, der aus 1 000 Aktien. In diesem Szenario, Dieser Anleger kann einfach eine zufällige Auswahl von Aktien untersuchen, um die geschätzten Renditen des Gesamtindex zu ermitteln. Sicher sein, Verwenden Sie mindestens 30-50 zufällig ausgewählte Aktien aus verschiedenen Sektoren, sollte abgetastet werden, damit der zentrale Grenzwertsatz gilt. Außerdem, zuvor ausgewählte Aktien müssen mit anderen Namen ausgetauscht werden, um Verzerrungen zu vermeiden.