Monte-Carlo-Simulation

Was ist eine Monte-Carlo-Simulation?

Monte-Carlo-Simulationen werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse in einem Prozess zu modellieren, der aufgrund des Eingreifens von Zufallsvariablen nicht einfach vorhergesagt werden kann. Es ist eine Technik, die verwendet wird, um die Auswirkungen von Risiken und Unsicherheiten in Vorhersage- und Prognosemodellen zu verstehen.

Eine Monte-Carlo-Simulation kann verwendet werden, um eine Reihe von Problemen in praktisch jedem Bereich wie Finanzen, Maschinenbau, Lieferkette, und Wissenschaft. Es wird auch als Mehrfachwahrscheinlichkeitssimulation bezeichnet.

Die zentralen Thesen

• Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Modell, das verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse vorherzusagen, wenn die Intervention von Zufallsvariablen vorliegt.
• Monte-Carlo-Simulationen helfen, die Auswirkungen von Risiken und Unsicherheiten in Vorhersage- und Prognosemodellen zu erklären.
• Eine Vielzahl von Bereichen verwendet Monte-Carlo-Simulationen, einschließlich Finanzen, Maschinenbau, Lieferkette, und Wissenschaft.
• Die Grundlage einer Monte-Carlo-Simulation besteht darin, einer unsicheren Variablen mehrere Werte zuzuweisen, um mehrere Ergebnisse zu erzielen, und dann die Ergebnisse zu mitteln, um eine Schätzung zu erhalten.
• Monte-Carlo-Simulationen gehen von vollkommen effizienten Märkten aus.

Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulationen verstehen

Bei erheblichen Unsicherheiten bei der Erstellung einer Prognose oder Schätzung, anstatt nur die unsichere Variable durch eine einzelne Durchschnittszahl zu ersetzen, die Monte-Carlo-Simulation könnte sich als bessere Lösung erweisen, wenn mehrere Werte verwendet werden.

Da Wirtschaft und Finanzen von Zufallsvariablen geplagt werden, Monte-Carlo-Simulationen haben in diesen Bereichen eine Vielzahl potenzieller Anwendungen. Sie werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Kostenüberschreitungen bei Großprojekten und die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Vermögenswert in eine bestimmte Richtung bewegt, abzuschätzen.

Telekommunikationsunternehmen verwenden sie, um die Netzwerkleistung in verschiedenen Szenarien zu bewerten, hilft ihnen, das Netzwerk zu optimieren. Analysten verwenden sie, um das Risiko eines Ausfalls eines Unternehmens zu bewerten, und um Derivate wie Optionen zu analysieren.

Auch Versicherer und Ölbohrer nutzen sie. Monte-Carlo-Simulationen haben unzählige Anwendungen außerhalb von Wirtschaft und Finanzen, wie in der Meteorologie, Astronomie, und Teilchenphysik.

Geschichte der Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulationen sind nach dem beliebten Glücksspielort in Monaco benannt. da Zufall und zufällige Ergebnisse von zentraler Bedeutung für die Modellierungstechnik sind, wie bei Spielen wie Roulette, Würfel, und Spielautomaten.

Die Technik wurde zuerst von Stanislaw Ulam entwickelt, ein Mathematiker, der am Manhattan-Projekt arbeitete. Nach dem Krieg, während der Genesung von einer Gehirnoperation, Ulam unterhielt sich mit unzähligen Solitärspielen. Er interessierte sich dafür, das Ergebnis jedes dieser Spiele aufzuzeichnen, um ihre Verteilung zu beobachten und die Gewinnwahrscheinlichkeit zu bestimmen. Nachdem er seine Idee mit John Von Neumann geteilt hatte, die beiden arbeiteten zusammen, um die Monte-Carlo-Simulation zu entwickeln.

Monte-Carlo-Simulationsmethode

Grundlage einer Monte-Carlo-Simulation ist, dass die Wahrscheinlichkeit variierender Ergebnisse aufgrund von zufälligen Variableninterferenzen nicht bestimmt werden kann. Deswegen, Eine Monte-Carlo-Simulation konzentriert sich auf die sich ständig wiederholenden Stichproben, um bestimmte Ergebnisse zu erzielen.

Eine Monte-Carlo-Simulation nimmt die Variable mit Unsicherheit und weist ihr einen Zufallswert zu. Das Modell wird dann ausgeführt und ein Ergebnis wird bereitgestellt. Dieser Vorgang wird immer wieder wiederholt, während die betreffende Variable mit vielen verschiedenen Werten belegt wird. Sobald die Simulation abgeschlossen ist, die Ergebnisse werden gemittelt, um eine Schätzung zu erhalten.

Berechnung einer Monte-Carlo-Simulation in Excel

Eine Möglichkeit, eine Monte-Carlo-Simulation einzusetzen, besteht darin, mögliche Bewegungen von Vermögenspreisen mit Excel oder einem ähnlichen Programm zu modellieren. Die Preisbewegung eines Vermögenswerts besteht aus zwei Komponenten:Drift, das ist eine konstante Richtungsbewegung, und eine zufällige Eingabe, die die Marktvolatilität darstellt.

Durch die Analyse historischer Preisdaten, Sie können die Drift bestimmen, Standardabweichung, Abweichung, und durchschnittliche Preisbewegung eines Wertpapiers. Dies sind die Bausteine ​​einer Monte-Carlo-Simulation.

Um einen möglichen Kursverlauf zu projizieren, Verwenden Sie die historischen Preisdaten des Vermögenswerts, um eine Reihe von regelmäßigen täglichen Renditen unter Verwendung des natürlichen Logarithmus zu generieren (beachten Sie, dass diese Gleichung von der üblichen prozentualen Änderungsformel abweicht):

Regelmäßige tägliche Rückgabe = l n ( Tagespreis Preis des Vortages ) \begin{aligned} &\text{Periodic Daily Return} =ln \left ( \frac{ \text{Tagespreis} }{ \text{Vortagespreis} } \right ) \\ \end{aligned} ​Periodische Tagesrendite=ln(Preis des VortagesTagespreis​)​

Als nächstes verwenden Sie den DURCHSCHNITT, STABW.P, und VAR.P-Funktionen für die gesamte resultierende Reihe, um die durchschnittliche Tagesrendite zu erhalten, Standardabweichung, und Varianzeingaben, bzw. Die Drift ist gleich:

Drift = Durchschnittliche tägliche Rendite − Abweichung 2 wo: Durchschnittliche tägliche Rendite = Produziert von Excel's AVERAGE-Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen Abweichung = Produziert von Excel's VAR.P-Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen \begin{aligned} &\text{Drift} =\text{Durchschnittlicher Tagesertrag} - \frac{ \text{Variance} }{ 2 } \\ &\textbf{wo:} \\ &\text{Durchschnittlicher Tagesertrag } =\text{Erzeugt von Excel} \\ &\text{DURCHSCHNITTLICHE Funktion aus regelmäßigen täglichen Rückgabereihen} \\ &\text{Varianz} =\text{Erzeugt von Excel} \\ &\text{VAR.P Funktion von periodische tägliche Renditeserie} \\ \end{aligned} ​Drift=Average Daily Return−2Variance​Wobei:Average Daily Return=Erzeugt aus Excels AVERAGE-Funktion aus periodischen täglichen RenditereihenVariance=Erzeugt aus Excels VAR.P-Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen​

Alternative, Drift kann auf 0 gesetzt werden; diese Wahl spiegelt eine gewisse theoretische Orientierung wider, aber der Unterschied wird nicht groß sein, zumindest für kürzere Zeiträume.

Nächste, eine zufällige Eingabe erhalten:

Zufälliger Wert = σ × NORMENINV(RAND()) wo: σ = Standardabweichung, produziert aus Excel STDEV.P-Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen NORMENINV und RAND = Excel-Funktionen \begin{aligned} &\text{Zufallswert} =\sigma \times \text{NORMSINV(RAND())} \\ &\textbf{wobei:} \\ &\sigma =\text{Standardabweichung, erzeugt aus Excels} \\ &\text{STDEV.P-Funktion aus periodischen täglichen Rückgabereihen} \\ &\text{NORMSINV und RAND} =\text{Excel-Funktionen} \\ \end{aligned} ​Zufallswert=σ×NORMSINV(RAND())wobei:σ=Standardabweichung, erzeugt aus Excels STDEV.P-Funktion aus periodischen täglichen Rückgaben seriesNORMSINV und RAND=Excel-Funktionen​

Die Gleichung für den Preis des folgenden Tages lautet:

Preis des nächsten Tages = Der heutige Preis × e ( Drift + Zufälliger Wert ) \begin{aligned} &\text{Preis des nächsten Tages} =\text{Heutiger Preis} \times e^{ ( \text{Drift} + \text{Zufallswert} ) }\\ \end{aligned} ​Preis des nächsten Tages=heutiger Preis×e(Drift+Zufallswert)​

Nehmen e zu einer gegebenen Macht x im Excel-Format, Verwenden Sie die EXP-Funktion:EXP(x). Wiederholen Sie diese Berechnung so oft wie gewünscht (jede Wiederholung entspricht einem Tag), um eine Simulation der zukünftigen Preisbewegung zu erhalten. Durch die Generierung einer beliebigen Anzahl von Simulationen, Sie können die Wahrscheinlichkeit einschätzen, dass der Kurs eines Wertpapiers einer bestimmten Kurskurve folgt.

Besondere Überlegungen

Die Häufigkeiten der verschiedenen Ergebnisse, die durch diese Simulation erzeugt werden, bilden eine Normalverteilung, das ist, eine Glockenkurve. Die wahrscheinlichste Rendite liegt in der Mitte der Kurve, Das heißt, es besteht die gleiche Chance, dass die tatsächliche Rendite höher oder niedriger als dieser Wert ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite innerhalb einer Standardabweichung von der wahrscheinlichsten ("erwarteten") Rate liegt, beträgt 68 %. während die Wahrscheinlichkeit, dass sie innerhalb von zwei Standardabweichungen liegt, 95 % beträgt, und dass es innerhalb von drei Standardabweichungen von 99,7% liegt. Immer noch, Es gibt keine Garantie dafür, dass das am meisten erwartete Ergebnis eintritt, oder dass die tatsächlichen Bewegungen die wildesten Projektionen nicht überschreiten.

Entscheidend, Monte-Carlo-Simulationen ignorieren alles, was nicht in die Preisbewegung eingebaut ist (Makrotrends, Unternehmensführung, Hype, zyklische Faktoren); mit anderen Worten, sie gehen von vollkommen effizienten Märkten aus.