Lineare Beziehungsdefinition

Was ist eine lineare Beziehung?

Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der verwendet wird, um eine geradlinige Beziehung zwischen zwei Variablen zu beschreiben. Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format ausgedrückt werden, bei dem die Variable und die Konstante durch eine gerade Linie verbunden sind, oder in einem mathematischen Format, bei dem die unabhängige Variable mit dem Steigungskoeffizienten multipliziert wird. um eine Konstante addiert, die die abhängige Variable bestimmt.

Eine lineare Beziehung kann einer polynomischen oder nichtlinearen (gekrümmten) Beziehung gegenübergestellt werden.

Die zentralen Thesen

• Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der verwendet wird, um eine geradlinige Beziehung zwischen zwei Variablen zu beschreiben.
• Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format oder als mathematische Gleichung der Form y =mx + b ausgedrückt werden.
• Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben ziemlich häufig.

Die lineare Gleichung lautet:

Mathematisch, eine lineare Beziehung ist eine, die die Gleichung erfüllt:

ja = m x + B wo: m = Neigung B = y-Achsenabschnitt \begin{aligned} &y =mx + b \\ &\textbf{wo:}\\ &m=\text{Steigung}\\ &b=\text{y-Achsenabschnitt}\\ \end{aligned} ​y=mx+bwo:m=slopeb=y-Achsenabschnitt​

In dieser Gleichung ist „x“ und „y“ sind zwei Variablen, die durch die Parameter „m“ und „b“ zusammenhängen. Grafisch, y =mx + b wird in der x-y-Ebene als Linie mit Steigung „m“ und y-Achsenabschnitt „b“ aufgetragen. Der y-Achsenabschnitt „b“ ist einfach der Wert von „y“, wenn x=0 ist. Die Steigung „m“ wird aus zwei beliebigen Einzelpunkten (x ₁ , ja ₁ ) und (x ₂ , ja ₂ ) wie:

m = ( ja 2 − ja 1 ) ( x 2 − x 1 ) m =\frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)} m=(x2​−x1​)(y2​−y1​)​

Lineare Beziehung

Was sagt Ihnen eine lineare Beziehung?

Es gibt drei notwendige Kriterien, die eine Gleichung erfüllen muss, um sich als linear zu qualifizieren:Eine Gleichung, die eine lineare Beziehung ausdrückt, darf nicht aus mehr als zwei Variablen bestehen, alle Variablen in einer Gleichung müssen in erster Potenz sein, und die Gleichung muss als gerade Linie grafisch dargestellt werden.

Eine häufig verwendete lineare Beziehung ist eine Korrelation, die beschreibt, wie nahe sich eine Variable einer linearen Mode im Verhältnis zu den Änderungen einer anderen Variable ändert.

In der Ökonometrie, Die lineare Regression ist eine häufig verwendete Methode, um lineare Beziehungen zu erzeugen, um verschiedene Phänomene zu erklären. Es wird häufig bei der Extrapolation von Ereignissen aus der Vergangenheit verwendet, um Vorhersagen für die Zukunft zu treffen. Nicht alle Beziehungen sind linear, jedoch. Einige Daten beschreiben gekrümmte Beziehungen (z. B. Polynombeziehungen), während andere Daten nicht parametrisiert werden können.

Lineare Funktionen

Mathematisch ähnlich einer linearen Beziehung ist das Konzept einer linearen Funktion. In einer Variablen, Eine lineare Funktion kann wie folgt geschrieben werden:

F ( x ) = m x + B wo: m = Neigung B = y-Achsenabschnitt \begin{aligned} &f(x) =mx + b \\ &\textbf{wo:}\\ &m=\text{Steigung}\\ &b=\text{y-Achsenabschnitt}\\ \end{aligned} ​f(x)=mx+bwobei:m=slopeb=y-Achsenabschnitt​

Dies ist identisch mit der angegebenen Formel für eine lineare Beziehung, außer dass das Symbol f(x) anstelle von verwendet wird y. Diese Substitution wird vorgenommen, um die Bedeutung hervorzuheben, dass x auf f(x) abgebildet wird. in der Erwägung, dass die Verwendung von ja zeigt einfach an, dass x und y zwei Größen sind, verwandt von A und B.

Beim Studium der linearen Algebra die Eigenschaften von linearen Funktionen werden ausgiebig untersucht und rigoros gemacht. Gegeben ein Skalar C und zwei Vektoren A und B aus R ⁿ , die allgemeinste Definition einer linearen Funktion besagt, dass: C × F ( EIN + B ) = C × F ( EIN ) + C × F ( B ) c\times f(A+B) =c\times f(A) + c\times f(B) c×f(A+B)=c×f(A)+c×f(B)

Beispiele für lineare Beziehungen

Beispiel 1

Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben ziemlich häufig. Nehmen wir zum Beispiel das Konzept der Geschwindigkeit. Die Formel, die wir zur Berechnung der Geschwindigkeit verwenden, lautet wie folgt:Die Geschwindigkeitsrate ist die im Laufe der Zeit zurückgelegte Strecke. Wenn jemand in einem weißen Chrysler Town and Country Minivan von 2007 zwischen Sacramento und Marysville in Kalifornien reist, eine 41,3 Meilen lange Strecke auf dem Highway 99, und die komplette Fahrt dauert 40 Minuten, sie wird knapp unter 60 mph gereist sein.

Obwohl es mehr als zwei Variablen in dieser Gleichung gibt, es ist immer noch eine lineare Gleichung, weil eine der Variablen immer eine Konstante (Entfernung) ist.

Beispiel 2

Ein linearer Zusammenhang findet sich auch in der Gleichung Distanz =Geschwindigkeit x Zeit. Da die Entfernung eine positive Zahl ist (in den meisten Fällen), diese lineare Beziehung würde im oberen rechten Quadranten eines Graphen mit einer X- und Y-Achse ausgedrückt.

Wenn ein Fahrrad für zwei Personen 20 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 Meilen pro Stunde unterwegs war, Der Fahrer wird am Ende 600 Meilen zurücklegen. Grafisch dargestellt mit der Distanz auf der Y-Achse und der Zeit auf der X-Achse, eine Linie, die die Entfernung über diese 20 Stunden verfolgt, würde sich direkt aus der Konvergenz der X- und Y-Achse bewegen.

Beispiel 3

Um Celsius in Fahrenheit umzurechnen, oder Fahrenheit in Celsius, Sie würden die folgenden Gleichungen verwenden. Diese Gleichungen drücken eine lineare Beziehung in einem Diagramm aus:

° C = 5 9 ( ° F − 3 2 ) \degree C =\frac{5}{9}(\degree F - 32) °C=95​(°F−32)

° F = 9 5 ° C + 3 2 \grad F =\frac{9}{5}\grad C + 32 °F=59​°C+32

Beispiel 4

Angenommen, die unabhängige Variable ist die Größe eines Hauses (gemessen in Quadratmetern), die den Marktpreis eines Hauses (die abhängige Variable) bestimmt, wenn sie mit dem Steigungskoeffizienten von 207,65 multipliziert und dann zum konstanten Term 10 addiert wird , 500. Wenn die Quadratmeterzahl eines Hauses 1 beträgt 250 dann ist der Marktwert des Hauses (1, 250 x 207,65) + 10 $, 500 =270 $, 062.50. Grafisch, und mathematisch, es sieht wie folgt aus:

In diesem Beispiel, mit zunehmender Größe des Hauses, der Marktwert des Hauses steigt linear.

Einige lineare Beziehungen zwischen zwei Objekten können als "proportionale Beziehung" bezeichnet werden. Diese Beziehung erscheint als

Ja = k × x wo: k = Konstante Ja , x = proportionale Mengen \begin{ausgerichtet} &Y =k \times X\\ &\textbf{wobei:}\\ &k=\text{Konstante}\\ &Y, X=\text{proportionale Größen}\\ \end{ausgerichtet} ​Y=k×Xwobei:k=konstantY, X=proportionale Größen​

Bei der Analyse von Verhaltensdaten, Es gibt selten eine perfekte lineare Beziehung zwischen Variablen. Jedoch, Trendlinien können in Daten gefunden werden, die eine grobe Version einer linearen Beziehung bilden. Zum Beispiel, Sie könnten den täglichen Verkauf von Eiscreme und die tägliche Höchsttemperatur als die beiden Variablen in einem Diagramm betrachten und eine grobe lineare Beziehung zwischen den beiden finden.